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198. 打家劫舍
思路
打家劫舍是dp解决的经典问题，动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
2、确定递推公式
决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
3、dp数组如何初始化
从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1])，即抢和不抢;
代码如下：
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
4、确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
代码如下：
for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}
5、举例推导dp数组
以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。
Go代码如下
func rob(nums []int) int {
if len(nums)<1{
return 0
}
if len(nums)==1{
return nums[0]
}
if len(nums)==2{
return max(nums[0],nums[1])
}
dp :=make([]int,len(nums))
dp[0]=nums[0]
dp[1]=max(nums[0],nums[1])
for i:=2;i<len(nums);i++{
dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1])
}
return dp[len(dp)-1]
}
func max(a, b int) int {
if a>b{
return a
}
return b
}
思路
这道题目和198.打家劫舍是差不多的，唯一区别就是成环了。198.打家劫舍
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。
而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍就是一样的了。198.打家劫舍
代码如下：
func rob(nums []int) int {
if len(nums) == 1 {
return nums[0]
}
// 情况2.考虑只包含首元素，不含尾元素
ans1 := robRange(nums,0, len(nums)-2)
// 情况3考虑只包含尾元素，不包含首元素
ans2 := robRange(nums,1, len(nums)-1)
return max(ans1, ans2)
}
func robRange(nums []int, start, end int) int {
if end == start {
return nums[start]
}
dp := make([]int, len(nums))
dp[start] = nums[start]
dp[start+1] = max(nums[start], nums[start+1])
for i:=start+2;i<=end;i++{
dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])
}
return dp[end]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}总结
成环之后还是难了一些的， 不少题解没有把“考虑房间”和“偷房间”说清楚。
这就导致大家会有这样的困惑：情况三怎么就包含了情况一了呢？ 本文图中最后一间房不能偷啊，偷了一定不是最优结果。
所以我在本文重点强调了情况一二三是“考虑”的范围，而具体房间偷与不偷交给递推公式去抉择。
这样大家就不难理解情况二和情况三包含了情况一了。
337.打家劫舍 III
思路
这道题目和 198.打家劫舍
213.打家劫舍II也是如出一辙，只不过这个换成了树。
如果对树的遍历不够熟悉的话，那本题就有难度了。
对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。
本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。
如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）
动态规划
动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。
这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。
1、确定递归函数的参数和返回值
这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。
参数为当前节点，代码如下：
vector<int> robTree(TreeNode* cur) {其实这里的返回数组就是dp数组。
所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。
所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！
那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？
别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。
如果还不理解的话，就接着往下看，看到代码就理解了哈。
2、终止条件
在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回
if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
这也相当于dp数组的初始化
3、确定遍历顺序
首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
代码如下：
// 下标0：不偷，下标1：偷
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
// 中确定单层递归的逻辑
如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就在回顾一下dp数组的含义）
如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
代码如下：
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
// 偷cur
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
// 不偷cur
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
return {val2, val1};
5、举例推导dp数组
以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）
最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。
func rob(root *TreeNode) int {
res := robTree(root)
// 1. 下标为 0 记录 **不偷该节点** 所得到的的最大金钱
// 2. 下标为 1 记录 **偷该节点** 所得到的的最大金钱
return max(res[0], res[1])
}
func robTree(cur *TreeNode) []int {
// 递归终止条件，就是遇到了空节点，那肯定是不偷的
if cur == nil {
return []int{0, 0}
}
// 要用后序遍历, 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算
left := robTree(cur.Left)
right := robTree(cur.Right)
// 考虑偷当前节点, 不偷子节点
robCur := cur.Val + left[0] + right[0]
// 考虑不偷当前节点, 偷子节点
notRobCur := max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
// 注意顺序：0:不偷，1:去偷
return []int{notRobCur, robCur}
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}