喜欢动漫的看封面就能猜出这篇应该拖了很久了，这是那时候选的封面。今天终于填完了，虽然这还是课程的前面部分，不过，反正就是慢慢写了...。而且，过了这么久，我想法也有些变化，仔细看应该能看出来哪是今年填的，课上的内容我没有耐心讲了，都千篇一律，想看课程实际内容的的看我截的图或学堂在线的课吧，我更多的会写我学到的或者想到的内容和方法什么的。另外，不知道为什么，微信里这格式一保存就会乱变，反正我也不大排版，就这么着了。
定义在第一篇里有，就不再贴一遍了。矩阵也可以用来表示简单的表格类，如图遍历时使用的邻接矩阵等。对逻辑中图表问题，也可以借助类似排除某一元素时，直接划掉元素所在行与列的方式。
矩阵有一些特殊情况：
1.方阵
2.行矩阵或列矩阵：只有一行或一列的矩阵
3.零矩阵：元素全为零，记为〇或〇i×j
4.负矩阵：对一个矩阵的元素前全加上负号得到的矩阵
5.上三角矩阵，下三角矩阵：和三角列式类似，必须是方阵
6.对角矩阵，如果对角线上都是常数叫纯量矩阵，如果常数都是1叫单位矩阵记作In
7.阶梯和简化阶梯矩阵
两个矩阵的行列数分别相同的，称为同型矩阵。同型矩阵的对应分量相等，则这两个矩阵相等。
两矩阵相加减等于两矩阵的对应分量相加减。矩阵数乘等于矩阵每个分量同乘以同一个数。注意，数乘就不是两个矩阵对应分量相乘了，因为2x+2y=5和 3x +3y=5 → 6(x+y)(x+y)=25，而不是对应的，加法因为是有分配律的。
矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。
交换律：；
结合律：．
结合律：(λμ)A=λ(μA) ；(λ+μ)A =λA+μA．
分配律：λ (A+B)=λA+λB．
结合律 ．
分配律 （左分配律）；
（右分配律）．
零矩阵：A + 〇 = A
负矩阵：A + （- A） = 〇
单位 ：1A = A
矩阵的乘法的本质是方程组的带入，例如有两个方程组：
将第二个方程组带入到第一个方程组中就可以用z1、z2表示x1、x2，由xk为表示量，yk为被表示量经由z为y的表示量最终成为x1的表示量变为zk：
上面三个方程组的被表示量矩阵：
前面两行三列后面正好是三行两列，方程组①的表示量恰好是方程组②的被表示量，方程组③的被表示量恰好可以替代方程组①的表示量，方程组③的矩阵我就不写了，因为被表示量的①是两行，所以矩阵③是两行，因为方程组②的表示量是两列，所以矩阵③是两列，矩阵①×矩阵②:=矩阵③2×2，这就是矩阵乘法的代数意义，矩阵相乘的过程就是代入过程。矩阵乘法最初是为了描述线性映射的复合而引入的。矩阵相乘要注意一个隐含条件，就是yk的位置，例如①中y1所在的行的位置，和y1在②中的位置一定要对应。
矩阵能相乘的前提，从上面可知，前面矩阵的列数要等于后面矩阵的行数；乘积的行数等于前面矩阵的行数，列数等于后面矩阵的列数；前行后列中相等，Ai×s × Bs×j = Ci×j 。
乘积矩阵的元素，C中(r,l)位置上的元素cr×l：
即A第r行行序号和B第l列列序号相同的元素分别相乘的积的和：
举个两个例子：
从矩阵相乘的本质就可以看出，矩阵相乘不满足交换律，相乘后的积和原矩阵无直接关系，因为过程并不只是简单的单独直接运算，B≠C也可能得到AB=AC。
线性方程组用矩阵的表示：
上面这个线性方程组可以表示为AX = B，A是系数矩阵，（A|B）j×(i+1) 表示增广矩阵。下面是对角矩阵交换位置相乘的效果，对角在左则对行做倍乘，对角在右则对列做倍乘：
对于单位矩阵Ii和Ij，如果可以相乘，则无论左乘右乘，结果都是原矩阵：IiAi×j = Ai×jIj = A。
对角阵的对角元素如果都是常量k，则左乘右乘的结果相等相等，任意阶对角数量阵与对应阶任意矩阵左右乘结果相等，反过来与对应阶任意矩阵左乘右乘都相等的矩阵只有对角数量阵。
矩阵乘法的运算律：
这些运算律看起来只有结合律不太直观，证明方法可以通过分别取两边的元素通项及阶数，可以发现是一样的。设A=(aij)rl，B=(bij)ls，C=(cij)st，则AB为r×s阶，BC为l×t阶，于是(AB)C和A(BC)都是r×t阶矩阵。
(AB)C的位于i行j列的元素:
A(BC)的位于i行j列的元素:
可以发现dij = eij于是可得证明结合律成立。
矩阵的方幂，矩阵可以做幂运算的前提是，这个矩阵必须是方阵。AkAl= Ak+l = AlAk，（Ak）l=AkAl这两个和普通的乘法幂运算相同。对方阵反复进行线性运算和乘法运算可得矩阵多项式，设 是数域P上的m×n矩阵， 称为矩阵多项式。
矩阵转置前一篇大概讲过。转置的一些运算律：
1.两次还原：(AT)T= A
2.加法相容：(A+B)T = AT+BT
3.数乘相容：(λA)T = λAT
4.乘法反序：(AB)T=BTAT
如果矩阵转置前后等势，则矩阵为方阵，称为对称阵。若转置后，矩阵等于原矩阵的相反数（×-1），则原矩阵称为反对称阵。若对角阵是反对称阵，则该矩阵是O。运算律：
1.如果A、B是同阶对称矩阵，则A+B、kA也是对称矩阵；
2.如果A、B是同阶反对称矩阵，则A+B、kA也是反对称矩阵；
---即线性运算保持矩阵的（反）对称性
乘法运算就不能保证对称性了。
表示方阵的行列式运算与乘法运算相容，或行列式为关于方阵的积性函数。方阵的行列式转置保持不变，方阵数乘的行列式det(kA)=kndetA，但是det(A+B) ≠ detA + detB。
矩阵的乘法可以用于方程的计算，而且还能一次算很多个，例如斜截式y=kx+b：
同时多个就是：
具体我就懒得代进去算了。这方法在写代码时很有用，例如在线性回归模型中，可以把算的过程封装起来，减少了需要开发部分代码的复杂度，而且可以一次算多个方程。
分块矩阵：当矩阵特别大的时候，对矩阵进行运算可以先对其进行分块，以简化计算：
上面这图还是教程里的图，然而我这次开始填坑终于厌烦了对老师讲的内容做笔记了。之后还是按我的说法来，原则什么的，不想说了，下面开始说分块矩阵的运算，分块本质上就是用一个符号代替为了矩阵中的一块。书上的例子是：
换一个比较朴素的说法就是，比如有两个方程组：
在每行上两两分块：
这两个分块矩阵相加其实就是上面两个方程组相加，虽然把诸如a11+a12 表示为A11，但是其实什么都没变。所以矩阵加法的成立简直正确的像是废话一样。但是注意，这是同型矩阵，就是对应相加，其实不同型能不能相加，看上面的方程组自己也能判断了。
这个分块矩阵乘以常数就相当于对一个方程组的每个项乘以一个常数，不多说了。
矩阵转置在不分块的时候，对着方程组看，看上去就是把每个式子中相同的未知量放一个式子了。分块矩阵的转置例如上面的A矩阵，转了以后式子就大概是这样：
依然是相同的变量放到一块了，只不过这里是分块时候分出来的每两个变量放一块了。不分块的时候是一个，这里是多个。可以看出来，分块矩阵转置后，每一行最后加到一起的还是分块时候配对的那两个未知量，x1还是和x2一起，x3也还是和x4一起，这和转置了以后再同样的方式(只是竖着了)分块是一样的效果，这也等于说分块矩阵的转置等于每个子块转置，仔细看变量的排列，又变成没分块时候转置的样子了：
下面是分块矩阵的乘法，没分块的时候乘法就相当于嵌套函数，被乘函数当做变量带入乘数函数：b(x)->a(y) => a(b(x))大概就是这么个感觉。到分块矩阵这里这个x就变成一个子块而不是单纯的项参数了：b(B1)->a(A1) => a(b(B1))这种感觉。上面的这个图里的未知量变成矩阵的子块了：
这个代入过程脑内想想就大概齐了，有点懒了。至于其中对矩阵的要求，反正大家记住了代入，怎么能代入怎么就是对的，代不利索就有问题。
准对角矩阵，准上三角矩阵，准下三角矩阵之类及相关证明依然是归纳法，我感觉不到有什么好玩的，就不特别写了。
推论：在可运算条件下，上（下）三角形矩阵的加法、数乘与乘法扔是上（下）三角形矩阵。
矩阵的三种初等变换没啥好说的，就是方程组系数同时乘某个常数或者方程之间行运算或者列交换什么的。主要是用于将矩阵化为阶梯矩阵，简化运算。
注意，是同解矩阵，只是说原方程组的解不变，可没说矩阵A、B相等。
经过一次初等变换的矩阵叫初等矩阵。比如乘以非0常数的矩阵（倍乘矩阵），还有倍加矩阵，这都是在解方程组消元中用到过的熟悉的方法，某一行乘一个数后加到另一行上什么的，还有把方程组中未知数所在列对换，比如把上面的y和z的列对换（对换矩阵）。倍乘前后的矩阵的行列式会相差倍数，当然这也是废话；对换矩阵的行列式，前后是相反数，根据前面说过的对偶性；倍加矩阵的行列式前后不变，我就懒得写过程了。对初等矩阵的分块，同懒，略。
如果一个矩阵A和另外一个矩阵相乘等于单位阵I，那另外的这个矩阵就是A的逆矩阵A-1。如果乘积是单位阵，那就说明A-1的未知数个数和A的方程个数一样，参见上面矩阵相乘的方程组。既然逆阵的行元素个数和A的列向量中元素个数相同，那只能两个都是方阵，不然不能相乘（其实这里有个隐含条件，A的简化阶梯矩阵不能有0行，也就是阶梯矩阵主元个数等于列数，方程组有唯一解才是可逆的，毕竟单元阵主元是满的，不然那就是"假"的方阵）。这里A有俩名字可叫，一个是可逆矩阵，还有一个叫非奇异矩阵，A-1叫逆矩阵。这里这个A×A-1乘法是满足交换律的。然后A的行列式不能为0，可以参见前两篇自己计算，此处手懒，A-1的行列式等于A的行列式的逆，也就是A的行列式分之一。
至于倍乘矩阵的逆的系数都是原来的倒数，倍数k变成1/k这就是定义，都没必要提，倍加也是一样的。对换阵的逆矩阵是自己这件事，也就是说代入方转了一下，那被代入方也转一下就跟没变一样。
伴随矩阵可以用来求矩阵的逆，看下截图里的定义和例子感受一下就好了，纯运算没啥好说的地方感觉：
我只截了二阶的是因为方便，a11的代数余子式就是a22，三阶的自己算，虽然这个二阶的也不是我算的，毕竟在电脑上编辑公式虽然不难，但是好啰嗦，我字又难看，实在不想拍给你们看。三阶以上矩阵的运算量实在太大了，所以实际中也很少有人手算，大概。
矩阵可逆的条件什么的，随便了，上面大概也提过了。分块矩阵在这也没啥特别有意思的，略之。
求逆大概讲了几种办法，基本就分为用伴随矩阵或初等变换两类，伴随矩阵的方法太啰嗦，上面也提了。另外，分块矩阵求你的定义法就是A×A-1=I的代数推导，这方法我不喜欢，截图大家感受一下就好：
初等变换的方法我也不喜欢，老师都说容易出错：
这个方法的有点是可以不止解逆矩阵，可以用于解任何矩阵的乘法，只要把其中的I换成别的就可以当公式套了，虽然我讨厌套公式：
这种方式我也不喜欢。我比较喜欢用解方程组的方法算，虽然没看到哪个老师讲过，但是我觉得我这才是真正的定义法，举个例子：
简单起见，我就求这个矩阵的逆矩阵，因为它逆矩阵和它一样是二阶方阵，设未知数a,b,c,d，根据定义可得：
根据矩阵乘法的定义，可得两个方程组：
解方程组可得：a = 3, c = -1, b = -2, d = 1，于是，逆矩阵为：
三阶就是两对三元一次方程组，我还是觉得这么算踏实，而且总感觉比老师讲的方法要省心省力。
矩阵这一章就到这了，拖了一年多，终于把坑填上了，下一章好像是向量，记不太清了，不过不一定什么时候写，我得翻翻前面，看还有多少没填的坑。