没玩过csgo，个人猜测是这样的：

你的id的库中有csgo游戏，网吧的steam库文件的默认路径中没有csgo游戏
网吧中的csgo游戏是另外单独安装的。
想要不重新下载可以这样：
找到网吧的csgo游戏的位置，把他添加为steam库文件
添加方法是：steam 设置 下载 库文件位置 添加库文件，依次点击即可
（另外如果steam默认的库文件位置和网吧的csgo游戏在一个盘，好像会添加不成功，可以吧csgo复制到其他盘再添加到steam库文件中）